Question

如圖，AD是⊙O的弦，AB經過圓心O，交⊙O于點C，∠DAB=∠B=30°．
（1）求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AC=10，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，再由∠DAB=∠B=30°，得到∠ODA=∠DAB=∠B=30°，再由∠BOD為三角形AOD的外角，利用三角形的外角性質求出∠BOD的度數，在三角形BOD中，利用三角形的內角和定理求出∠BDO為直角，可得出BD垂直于OD，進而確定出BD與圓O相切；
（2）由直徑AC的長，求出半徑的長，在直角三角形BOD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OB=2OD，求出OB的長，再利用勾股定理即可求出BD的長．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，∠DAB=∠B=30°，
∴∠ODA=∠DAB=∠B=30°，
又∠BOD為△AOD的外角，
∴∠BOD=∠DAB+∠ODA=60°，
∴∠ODB=180°-∠BOD-∠B=180°-60°-30°=90°，即OD⊥BD，
∴直線BD與⊙O相切；

（2）解：∵AC為⊙O的直徑，AC=10，
∴OA=OC=OD=5，
又在Rt△OBD中，∠B=30°，
∴OD=

1

2

OB，
∴OB=2OD=10，
則由勾股定理得，BD=

OB2-OD2

=

102-52

=5

3

．

點評：此題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性質，其中切線的證明方法有兩種：有點連接證明垂直；無點作垂線證明垂線段等于圓的半徑．