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已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A(0,1)、B(0,3),第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上.關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、D(3,-2)、P三點(diǎn),且點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上.
(1)求直線BC的解析式;
(2)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PM+CM的取值范圍.

【答案】分析:(1)根據(jù)第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上,利用勾股定理求出OC的長(zhǎng),進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo),應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式;
(2)由于拋物線解析式關(guān)于y軸對(duì)稱,可知一次項(xiàng)系數(shù)為0,利用待定系數(shù)法,設(shè)出一般式,將A(0,1),D(3,-2)代入解析式即可求出二次函數(shù)解析式;根據(jù)軸對(duì)稱定義和角平分線的定義,利用特殊角判斷出則符合條件的點(diǎn)P就是直線BC與拋物線y=-x2+1的交點(diǎn).
(3)根據(jù)軸對(duì)稱定義和性質(zhì),作出C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′,將求PM+CM的取值范圍轉(zhuǎn)化為求PM+C′M的取值范圍.
解答:解:(1)∵A(0,1),B(0,3),
∴AB=2,
∵△ABC是等腰三角形,且點(diǎn)C在x軸的正半軸上,
∴AC=AB=2,
∴OC==
∴C(,0).(2分)
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,
k+3=0,
∴k=-
∴直線BC的解析式為y=-x+3.(4分)

(2)∵拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴b=0.(5分)
又拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(0,1),D(3,-2)兩點(diǎn).

解得
∴拋物線的解析式是y=-x2+1.(7分)
在Rt△AOC中,OA=1,AC=2,易得∠ACO=30°.
在Rt△BOC中,OB=3,OC=,易得∠BCO=60°.
∴CA是∠BCO的角平分線.
∴直線BC與x軸關(guān)于直線AC對(duì)稱.
點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上,則符合條件的點(diǎn)P就是直線BC與拋物線y=-x2+1的交點(diǎn).(8分)
∵點(diǎn)P在直線BC:y=-x+3上,故設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,-x+3).
又∵點(diǎn)P(x,-x+3)在拋物線y=-x2+1上,
∴-x+3=-x2+1.
解得x1=,x2=2
故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P1,0),P2(2,-3).(10分)

(3)要求PM+CM的取值范圍,可先求PM+C′M的最小值.
(I)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是OC=時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,
故PM+CM=2CM.
顯然CM的最小值就是點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為
∵點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn),
∴PM+CM無(wú)最大值,
∴PM+CM≥2.(13分)
(II)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,-3)時(shí),由點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′(-,0),
故只要求PM+MC'的最小值,顯然線段PC'最短.易求得PC'=6.
∴PM+CM的最小值是6.
同理PM+CM沒(méi)有最大值,
∴PM+CM的取值范圍是PM+CM≥6.
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,0)時(shí),PM+CM≥2
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,-3)時(shí),PM+CM≥6.(15分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了對(duì)函數(shù)題綜合應(yīng)用和分析解答的能力.(1)(2)小題難度不大,主要應(yīng)用待定系數(shù)法即可解答,(3)要根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),將折線轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題來(lái)解答.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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8
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32
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7.5
7.5

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