Question

如圖，BE，CD相交于點A，∠DEA，∠BCA的平分線相交于F．
（1）探求∠F與∠B，∠D有何等量關系？
（2）當∠B：∠D：∠F=2：4：x時，求x的值．

Answer 1

解：（1）∠F=（∠B+∠D）；
∵∠DHF是△DEH的外角，∠EHC是△FCH的外角，∠DHF=∠EHC，
∴∠D+∠1=∠3+∠F ①
同理，∠2+∠F=∠B+∠4 ②
又∵∠DEA，∠BCA的平分線相交于F
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴①-②得：∠B+∠D=2∠F，即∠F=（∠B+∠D）．

（2）∵∠B：∠D：∠F=2：4：x，
∴設∠B=2α，則∠D=4α，
∴∠F=（∠B+∠D）=3α，
又∠B：∠D：∠F=2：4：x，
∴x=3．
分析：（1）由三角形內角和外角的關系可知∠D+∠1=∠3+∠F，∠2+∠F=∠B+∠4，由角平分線的性質可知∠1=∠2，∠3=∠4，故∠F=（∠B+∠D）．
（2）設∠B=2α，則∠D=4α．利用（1）中的結論和已知條件來求x的值．
點評：本題考查來了三角形外角的性質及角平分線的性質，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和是解答此題的關鍵．