Question

（2004•龍巖）如圖，已知⊙O₁為△ABC的外接圓，以BC為直徑作⊙O₂，交AB的延長線于D，連接CD，且∠BCD=∠A．
（1）求證：CD為⊙O₁的切線；
（2）如果CD=2，AB=3，試求⊙O₁的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DC是⊙O₁的切線，只要連接O₁C，求證∠O₁CD=90°即可；
（2）運用切割線定理DB的長，再運用勾股定理求出BC的長，再證明△BCD∽△CEB，解得CE=5．
解答：（1）證明：
證法一：過點C作⊙O₁的直徑CE，并連接BE（1分）
∵∠BCD=∠A，∠E=∠A
∴∠BCD=∠E（3分）
∵CE為⊙O₁的直徑
∴∠CBE=90°（4分）
∴∠E+∠ECB=90°
∴∠BCD+∠ECB=90°
即EC⊥CD
∴CD為⊙O₁的切（6分）
證法二：過C作⊙O₁的直徑CE，連AE，利用圓內(nèi)接四邊形的外角的性質(zhì)進(jìn)行證明．
證法三：連OO₁、O₁O₂并延長O₁O₂交于點M，利用圓心角關(guān)系進(jìn)行證明．

（2）解：
解法一：∵CD為⊙O₁的切線
∴CD²=DB•DA=DB•（DB+AB）由CD=2，AB=3
解得DB=1，DB=-4（舍去）（8分）
∵CB為⊙O₂的直徑
∴∠D=90°，則（9分）
∴△BCD∽△CEB
∴
∴，解得CE=5．（12分）
解法二：在求出DB=1的基礎(chǔ)上，過O作OF⊥AB垂足為F，由四邊形O₁CDF是矩形進(jìn)行解答；
解法三：在求出DB=1的基礎(chǔ)上，由△O₁O₂C∽△COB可求出半徑；
解法四：在求出DB=1的基礎(chǔ)上，根據(jù)勾股定理，求AC；由△CDB∽△CAE可求出直徑．
點評：本題考查的是切線的判定，同時考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切割線定理，勾股定理．