Question

如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在墻AC上，這時梯足B到墻底C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻垂直下滑0.4米，那么可以算得梯足將外移0.8米．請探究：

(1)如果Rt△ABC是等腰直角三角形，如圖，那么梯子頂端沿墻垂直下滑的距離與梯足外移的距離能否相等；

(2)有沒有可能使梯子頂端沿墻垂直下滑的距離與梯足外移的距離恰好相等？

(3)如果第(2)個問題可能的話，那么是否下滑其他的距離時也能與梯足外移的距離恰好相等？

(4)梯足距墻多少米時，梯子頂端沿墻垂直下滑0.4米，梯足也恰好外移0.4米？

Answer 1

答案：
解析：

(1)不可能相等(提示：設AC＝BC＝a，AA1＝x，BB1＝y，則AB2＝a2＋a2＝2a2，＝(a－x)2＋(a＋y)2．因為AB＝A1B1，所以2a2＝(a－x)2＋(a＋y)2，得x2＋y2＋2a(y－x)＝0，若x＝y，則x2＋y2＋2a(y－x)＝2x2＞0，與x2＋y2＋2a(y－x)＝0矛盾); 　　(2)有可能(提示：當梯子頂端沿墻垂直下滑1.7米時，梯足也恰好外移1.7米); 　　(3)沒有，1.7米是唯一的(提示：設AA1＝BB1＝x，則A1C＝2.4－x，B1C＝x＋0.7，在Rt△A1B1C中，2.52＝(2.4－x)2＋(x＋0.7)2，2x2－3.4x＝0，因為x＞0，所以x＝1.7); 　　(4)1.6米(提示：AA1＝BB1＝0.4，設A1C＝x，BC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝(x＋0.4)2＋y2．Rt△A1B1C中，＝(y＋0.4)2＋x2，化簡得x＝y，所以Rt△ABC中，2.52＝x2＋(x＋0.4)2．取正，x＝1.6．)