Question

在栽植農作物時，一個很重要的問題是“合理密植”，如圖是栽植一種蔬菜時的兩種方法，A，B，C，D四株順次連接成為一個菱形，且AB=BD；A′，B′，C′，D′四株連接成一個正方形，這兩種圖形的面積為四株作物所占的面積．兩行作物間的距離為行距，一行中相鄰兩株作物的距離為株距．設這種蔬菜充分生長后，每株在地面上的影子近似成一個圓面（相鄰兩圓如圖相切），其中陰影部分的面積表示生長后空隙地面積，在株距都為a，其他客觀因素也相同的條件下，請從栽植的行距、蔬菜所占的面積，充分生長后空隙地面積三個方面比較兩種栽植方法，哪種方法能更充分地利用土地？

Answer 1

分析：先求菱形和正方形的面積，再求陰影部分的面積，比較即可．

解答：解：連接AC交BD于點O，在菱形ABCD中，有AB=AD，AC⊥BD，BO=

1

2

BD，
∵AB=BD=a，
∴BO=OD=

1

2

a，
在Rt△AOD中，AO=

AD2-OD2

=

3

2

a，
∴S_菱形=2×

1

2

×BD×AO=

3

2

a²，
S_{正方形A′B′C′D′}=a²．

設方法（1）中的空隙地面積為S₁，方法（2）中的空隙地面積為S₂，
則S₁=S_菱形ABCD-S_⊙A=

3

2

a²-

π

4

a²，S₂=S_{正方形A′B′C′D′}-S_⊙A′=a²-

π

4

a²，
∴S₁＜S₂，
∴栽植方法（1）比栽植方法（2）更能充分利用土地．

點評：此題綜合性較強，考查了菱形、正方形的性質及面積計算，以及扇形面積的計算．