Question

知識背景：恩施來鳳有一處野生古楊梅群落，其野生楊梅是一種具特殊價值的綠色食品．在當地市場出售時，基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝（上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍，如圖）
（1）實際運用：如果要求紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米．
①按方案1（如圖）做一個紙箱，需要矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是多少平方米？

②小明認為，如果從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優，你認為呢？請說明理由．

（2）拓展思維：北方一家水果商打算在基地購進一批“野生楊梅”，但他感覺（1）中的紙箱體積太大，搬運吃力，要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半，你認為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數圖象驗證．

Answer 1

【答案】分析：（1）①利用寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6，假設底面長為x，寬就為0.6x，再利用圖形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，進而求出即可；
②根據菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積即可得出答案；
（2）根據相似三角形的性質面積比等于相似比的平方得出即可．
解答：解：（1）①∵紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米，
∴假設底面長為x，寬就為0.6x，
∴體積為：0.6x•x•0.5=0.3，
解得：x=1，
∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，
WQ=MK=AD=，
∴QM=+0.5+1+0.5+=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，
∴矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是3×2.2=6.6（平方米）；
②
如圖，連接A₂C₂，B₂D₂相交于O₂，
設△D₂EF中EF邊上的高為h₁，△A₂NM中NM邊上的高為h₂，
由△D₂EF∽△D₂MQ得，
=，
解得：h₁=0.4，
同理可得出：h ₂=，
∴A₂C₂=，B₂D₂=3，
又四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形，
故S_{菱形A2B2C2D2}=5.625（平方米），
∴從節省材料的角度考慮，
采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優．

（2）水果商的要求不能辦到．
設底面的長與寬分別為 x、y，
則 x+y=0.8，xy=0.3，
即 y=0.8-x 和 y=，
在 y=0.8-x 中，
當x=0.8，y=0，x=0，y=0.8，
在y=中，
當x=1，y=0.3，
x=0.3，y=1，畫出其圖象如圖所示．
因為兩個函數圖象無交點，故水果商的要求無法辦到．
點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及正方形性質與菱形性質等知識，根據題意得出DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，WQ=MK=AD=是解決問題的關鍵．