Question

（2013•海珠區一模）如圖：若⊙O的半徑OA垂直于弦BC，垂足為P，PA=3，BC=6

3

．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由OA垂直BC，利用垂徑定理求出PC的長，設圓的半徑為r，根據PA=3表示出OP的長，在直角三角形OPC中利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑；
（2）連接OB，利用PC與OC的長，根據三角函數的定義求出角COP的度數，進而得到角BOC的度數，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式分別求出扇形OBAC的面積和三角形OBC的面積，相減即可得到陰影部分的面積．

解答：解：（1）如圖：連接OC，
∵OA⊥BC，PA=3，BC=6

3

，設圓O的半徑為r
∴在Rt△OPC中，PC=

1

2

BC=3

3

，OP=r-3，OC=r
根據勾股定理：OP²+PC²=OC²，即（r-3）²+（3

3

）²=r²，
解得：r=6
即圓O的半徑是6；

（2）如圖：連接OB，
∵OA⊥BC，PA=3，PC=

1

2

BC=3

3

，r=6，
∴OP=3，sin∠POC=

PC

OC

=

3

2

∴∠POC=60°，∠BOC=120°
∴S_陰影部分=S_扇形OBAC-S_△OBC=

120π•62

360

-

1

2

×6

3

×3=12π-9

3

．

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數，扇形的面積公式以及三角形的面積公式，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．