Question

如圖①，將直角梯形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=5，OC=4，BC∥OA，BC=3，點(diǎn)E在OA上，且OE=1，連接OB、BE．
（1）求證：∠OBC=∠ABE；
（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動(dòng)，連接PC、PE、PA和CE．
①當(dāng)△PCE的周長(zhǎng)最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如果點(diǎn)P在x軸上方，且滿足S_△CEP：S_△ABP=2：1，求DP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先由已知條件及勾股定理求出AE=4，AB=2

5

，得到

AB

AE

=

OA

AB

，又∠OAB=∠BAE，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△OAB∽△BAE，得出∠AOB=∠ABE，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠OBC=∠AOB，從而證明∠OBC=∠ABE；
（2）①由于CE為定長(zhǎng)，所以當(dāng)PC+PE最短時(shí)，△PCE的周長(zhǎng)最短，而E與A關(guān)于BD對(duì)稱，故連接AC，交BD于P，即當(dāng)點(diǎn)C、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，△PCE的周長(zhǎng)最短．由PD∥OC，得出

AD

AO

=

PD

OC

，求出PD的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②由于點(diǎn)P在x軸上方，BD=4，所以分兩種情況：0＜PD≤4與PD＞4．設(shè)PD=t，先用含t的代數(shù)式分別表示S_△CEP與S_△ABP，再根據(jù)S_△CEP：S_△ABP=2：1，即可求出DP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵OC=4，BC=3，∠OCB=90°，
∴OB=5．
∵OA=5，OE=1，
∴AE=4，AB=

42+(5-3)2

=2

5

，
∴

AB

AE

=

OA

AB

，
又∵∠OAB=∠BAE，
∴△OAB∽△BAE，
∴∠AOB=∠ABE．
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠ABE；

（2）①∵BD⊥x軸，ED=AD=2，
∴E與A關(guān)于BD對(duì)稱，
∴當(dāng)點(diǎn)C、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，△PCE的周長(zhǎng)最短．
∵PD∥OC，
∴

AD

AO

=

PD

OC

，即

2

5

=

PD

4

，
∴PD=

8

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，

8

5

）；
②設(shè)PD=t．
當(dāng)0＜PD≤4時(shí)，
∵S_△CEP=S_梯形OCPD-S_△OCE-S_△DEP=

1

2

（t+4）×3-

1

2

×4×1-

1

2

×2t=

1

2

t+4，
S_△ABP=

1

2

×2（4-t）=4-t，
∵S_△CEP：S_△ABP=2：1，
∴（

1

2

t+4）：（4-t）=2：1，
∴t=DP=

8

5

；
當(dāng)PD＞4時(shí)，
∵S_△CEP=S_梯形OCPD-S_△OCE-S_△DEP=

1

2

（t+4）×3-

1

2

×4×1-

1

2

×2t=

1

2

t+4，
S_△ABP=

1

2

×2（t-4）=t-4，
∵S_△CEP：S_△ABP=2：1，
∴（

1

2

t+4）：（t-4）=2：1，
∴t=DP=8．
故所求DP的長(zhǎng)

8

5

或8．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似形的綜合題，涉及到勾股定理，平行線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，有一定難度．（2）中第二小問進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．