Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=CD=4，BC=3．點M從點D出發以每秒2個單位長度的速度向點A運動．同時，點N從點B出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP⊥AD于點P．連接AC交NP于點Q，連接MQ．設運動時間為t秒．
（1）填空：AM=

4-2t

；AP=

1+t

．（用含t的代數式表示）
（2）t取何值時，梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的

1

3

；
（3）如圖2，將△AQM沿AD翻折，得△AKM，請問是否存在某時刻t，使四邊形AQMK為正方形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由DM=2t，根據AM=AD-DM即可求出AM=4-2t；先證明四邊形CNPD為矩形，得出DP=CN=3-t，則AP=AD-DP=1+t；
（2）根據梯形ABNM的面積等于梯形ABCD面積的

1

3

，得出方程

1

2

（t+4-2t）×4=

1

3

×

1

2

（3+4）×4，解方程即可；
（3）先由等腰直角三角形的性質得出∠CAD=45°，根據軸對稱的性質得出QM=KM，AQ=AK，∠KAQ=90°，再根據正方形的性質得到AQ=MQ，則由等腰三角形三線合一的性質得到AM=2AP，由此列出方程4-2t=2（1+t），解方程即可．

解答：解：（1）如圖1．∵DM=2t，
∴AM=AD-DM=4-2t．
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于點P，
∴四邊形CNPD為矩形，
∴DP=CN=BC-BN=3-t，
∴AP=AD-DP=4-（3-t）=1+t；

（2）如圖1．∵梯形ABNM的面積等于梯形ABCD面積的

1

3

，
∴

1

2

（t+4-2t）×4=

1

3

×

1

2

（3+4）×4，
解得t=

5

3

．
∴當t=

5

3

時，梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的

1

3

；

（3）存在時刻t=

1

2

，能夠使四邊形AQMK為正方形．理由如下：
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠CAD=45°．
∵將△AQM沿AD翻折，得△AKM，
∴QM=KM，AQ=AK，∠KAQ=2∠CAD=90°．
若四邊形AQMK為正方形，則AQ=MQ，
∵NP⊥MA，
∴MP=AP，
∴AM=2AP，
∴4-2t=2（1+t），
∴t=

1

2

，
∴當t=

1

2

時，四邊形AQMK為正方形．
故答案為4-2t；1+t．

點評：本題是四邊形綜合題，其中涉及到直角梯形的性質，矩形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，軸對稱的性質，等腰三角形的性質，正方形的性質等知識，綜合性較強，難度適中．運用數形結合、方程思想是解題的關鍵．