Question

已知關于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）
（1）求證：這個方程有兩個不相等的實數根；
（2）如果這個方程的兩個實數根分別為x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需證明根的判別式恒大于0即可．
（2）把等號左邊整理（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9，再把一元二次方程根與系數的關系代入列出方程解則可．
解答：解：（1）判別式△=（2m-1）²-4m（m-2）
=4m²-4m+1-4m²+8m
=4m+1
∵m＞0
∴4m+1＞0
所以方程有兩個不相等的實數根．

（2）由韋達定理得
x₁+x₂=
x₁x₂=
所以（x₁-3）（x₂-3）=5m
x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m
-3×+9=5m
兩邊同時乘以m并化簡
m-2-6m+3+9m=5m²
5m²-4m-1=0
（5m+1）（m-1）=0
解得m=1或m=-（舍去）
經檢驗m=1是方程的根．
所以m的值是1．
點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系及根的判別式，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．