Question

某市電視臺在黃金時段的4分鐘廣告時間內，計劃插播長度分為30秒和60秒的兩種廣告，30秒廣告每播1次收費1.5萬元，60秒廣告每播1次收費2.6萬元，若要求每種廣告播放又不少于1次，設30秒廣告播放x次，60秒廣告播放y次．
①試求y與x之間的函數關系式．
②兩種廣告的播放次數有哪幾種安排方式．
③電視臺選擇哪種方式播放收益最大？最大收益為多少？

Answer 1

分析：（1）插播長度為30秒的廣告總時間+插播長度為60秒的廣告總時間=240秒，依據等量可求出函數關系式；
（2）根據（1）的函數關系式，分類討論解答，注意x、y為正整數；
（3）根據（1）的函數關系式為反比例函數，所以，當x值最小時，y值最大，即為最大收益；將x值代入求出即可．

解答：解：（1）由題意得，30x+60y=240，
整理得，y與x之間的函數關系式是：y=-

1

2

x+4．
（2）由題意知，x、y都為正整數，
所以，①當x=1時，y=-

1

2

+4=3

1

2

，不符合題意，舍去；
②當x=2時，y=-

1

2

×2+4=3；
③當x=3時，y=-

1

2

×3+4=2

1

2

，不符合題意，舍去；
④當x=4時，y=-

1

2

×4+4=2；
⑤當x=5時，y=-

1

2

×5+4=1

1

2

，不符合題意，舍去；
⑥當x=6時，y=-

1

2

×6+4=1；
所以，兩種廣告的播放次數有3種安排方式：
①長度30秒的廣告插播2次，60秒的插播3次；
②長度30秒的廣告插播4次，60秒的插播2次；
③長度30秒的廣告插播6次，60秒的插播1次．
（3）由（2）題得，
3種方式的收益依次為：
①1.5×2+2.6×3=10.8萬元，
②1.5×4+2.6×2=11.2萬元，
③1.5×6+2.6×1=11.6萬元；
答：長度30秒的廣告插播6次，60秒的插播1次時，收益最大；
最大收益為11.6萬元．

點評：本題主要考查了一次函數在實際問題中的應用，解答時，要注意自變量的取值范圍，必須使實際問題有意義．體現了分類討論思想．