Question

【題目】基本圖形：在RT△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE．

探索：（1）連接EC，如圖①，試探索線段BC，CD，CE之間滿足的等量關系，并證明結論；

（2）連接DE，如圖②，試探索線段DE，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明結論；

聯想：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=7，CD=2，則AD的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）結論：．證明見解析；（2）結論：．證明見解析；（3）

【解析】

（1）說明△BAD≌OCAE（SAS）即可解答；

（2）先說明△BAD≌△CAE，可得BD=CE、∠ACE=∠B，進一步可得∠DCE=90°，最后利用勾股定理即可解答；

（3）作AE⊥AD.使AE=AD，連接CE，DE.由△BAD≌△CAE（SAS），推出BD=CE=7，由∠ADC=45°，∠EDA=45°，可得∠EDC=90°，最后利用勾股定理解答即可

解：（1）結論：，理由如下：

如圖①中，

∵，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

即：；

（2）結論：．理由如下：連接CE，

由（1）得，，

∴，，

∴，

∴．

∴

（3）作AE⊥4D，使4E=AD，連接CE，DE.

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD與△CAE中，

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE=7，

∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，

∴∠EDC=90°。

∴DE= =√8.

∵∠DAE=90°

∴,即

∴AD=.

故答案為．