Question

如圖，已知⊙O內切于菱形ABCD，MN，PQ與圓O相切，M，N，P，Q分別在AB，BC，CD，DA上，求證：MQ∥PN．

Answer 1

證明：連接AC、BD，其交點為內切圓心O．

設MN與⊙O切于K，圓O與AB和BC分別交于E、F，連接OE、OM、OK、ON、OF．
記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，
則∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ．，
∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α，
∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM，
又∵∠OCN=∠MAO，
∴△OCN∽△MAO，
∴AM•CN=AO•CO；
同理可證得：AQ•CP=AO•CO．
繼而得出AM•CN=AQ•CP，
又∵∠A=∠C，
∴△AMQ∽△CPN，
∴∠AMQ=∠CPN，
繼而得出MQ∥PN．
分析：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN，結合∠A=∠C知，只需證△AMQ∽△CPN，進而只需要證明AM•CN=AQ•CP即可．
點評：本題是一道競賽題，考查菱形的性質，難度較大，同時要注意切線性質的熟練掌握與靈活運用．