Question

已知關于x的方程x²-2mx+3m=0的兩個實數根為x₁、x₂，且（x₁-x₂）²=16．如果關于x的另一方程x²-2mx+6m-9=0的兩個實數根都在x₁和x₂之間，求m的值．

Answer 1

解：∵x₁，x₂是方程x²-2mx+3m=0①的兩個實數根，
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=3m．
∵（x₁-x₂）²=16，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16．
∴4m²-12m=16．
解得m₁=-1，m₂=4，

（1）當m=-1時，
方程x²-2mx+3m=0化為：x²+2x-3=0．
解得：x₁=-3，x₂=1．
方程x²-2mx+6m-9=0化為：x²+2x-15=0．
解得：x'₁=-5，x'₂=3．
∵-5、3不在-3和1之間，
∴m=-1不合題意，舍去．

（2）當m=4時，
方程x²-2mx+3m=0化為：x²-8x+12=0，
解得：x₁=2，x₂=6．
方程x²-2mx+6m-9=0化為：x²-8x+15=0，
解得：x'₁=3，x'₂=5．
∵2＜3＜5＜6，即x₁＜x'₁＜x'₂＜x₂，
∴方程x²-2mx+6m-9=0的兩根都在方程x²-2mx+3m=0的兩根之間．
∴m=4，
綜合（1）（2），m=4．
分析：先利用第一個方程中的條件，利用根與系數的關系求得m的值，再把m代入第二個方程求得另一個方程的解，并根據條件求出符合題意的m值．
點評：本題考查了根與系數的關系，本題中有重要的兩個步驟要注意，一是利用第一個方程的條件先求出m的值，二是要把解出的m值代入第二個方程求得x的值并利用題中條件檢驗，符合題意的m值才是方程中的m值