Question

【題目】如圖①，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4．點P從點A出發，沿A→D→C→D運動，速度為每秒2個單位長度；點Q從點A出發向點B運動，速度為每秒1個單位長度．P、Q兩點同時出發，點Q運動到點B時，兩點同時停止運動，設點Q的運動時間為t（秒）．連結PQ、AC、CP、CQ．

(1)點P到點C時，t=　 　；當點Q到終點時，PC的長度為　 　；

(2)用含t的代數式表示PD的長；

(3)當三角形CPQ的面積為9時，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)6s ；4；（2）PD=4-2t（0≤t≤2）；PD=2t﹣4（2＜t＜6）；PD=20﹣2t（6≤t≤8）；（3）t=1或t=.

【解析】

（1）點P到點C時，所走路程為AD+CD=12，點P的速度為每秒2個單位長度；當點Q到終點時，t=8s，據此求解出DP長度并運用勾股定理即可求解PC的長度；

（2）分點P在AD、DC、由C點回頭（CD）這三段不同的運動情況進行解答即可；

（3）以上問的結論作為基礎，由S△CPQ=S矩形ABCD- S△PAQ- S△PDC- S△CBQ進行解答即可.

解：（1）在矩形ABCD中，AB=8，AD=4

∴CD=AB=8點P到點C時，所走路程為AD+CD=12，

∴t==6s

當點Q到終點時，t=8s，P點回到CD中點，

∴DP=4，

由勾股定理得PC==4

（2）當0≤t≤2時，PD=4﹣2t

當2＜t＜6時，PD=2t﹣4

當6≤t≤8時，PD=8﹣（2t﹣12）=20﹣2t

（3）當0≤t≤2時，AP=2t，PD=4﹣2t，AQ=t，Q=8﹣t，則，

S△CPQ=4×8﹣t.2t﹣（8﹣t）.4﹣（4﹣2t ）.8=﹣t2+10t=9，t1=1，t2=9（舍去）

當2＜t＜6時，PC=12﹣2t

S△CPQ=（12﹣2t）4=24﹣4t=9，t=

當6≤t≤8時，PC=2t﹣12

S△CPQ=（2t﹣12）4=4t﹣24=9，t=（舍去）

綜上所述，當三角形CPQ的面積為9時t=1或t=.