Question

已知：函數y=ax²+x+1的圖象與x軸只有一個公共點．
（1）求這個函數關系式；
（2）如圖所示，設二次函數y=ax²+x+1圖象的頂點為B，與y軸的交點為A，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；
（3）在（2）中，若圓與x軸另一交點關于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y=ax²+x+1上？若在拋物線上，求出M點的坐標；若不在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當a=0時，y=x+1，圖象與x軸只有一個公共點
當a≠0時，△=1-4a=0，a=，此時，圖象與x軸只有一個公共點．
∴函數的解析式為：y=x+1或y=x²+x+1；

（2）設P為二次函數圖象上的一點，過點P作PC⊥x軸于點C；
∵y=ax²+x+1是二次函數，由（1）知該函數關系式為：
y=x²+x+1，
∴頂點為B（-2，0），圖象與y軸的交點
坐標為A（0，1）
∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點B
∴PB⊥AB則∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴=，故PC=2BC，
設P點的坐標為（x，y），
∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是鈍角，
∴x＜-2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，
即y=-4-2x，P點的坐標為（x，-4-2x）
∵點P在二次函數y=x²+x+1的圖象上，
∴-4-2x=x²+x+1
解之得：x₁=-2，x₂=-10
∵x＜-2，
∴x=-10，
∴P點的坐標為：（-10，16）

（3）點M不在拋物線y=ax²+x+1上
由（2）知：C為圓與x軸的另一交點，連接CM，CM與直線PB的交點為Q，過點M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ，即QE是中位線．
∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x軸
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，
故BE=，QE=
∴Q點的坐標為（-，）
可求得M點的坐標為（，）
∵++1=≠
∴C點關于直線PB的對稱點M不在拋物線y=ax²+x+1上．
（其它解法，仿此得分）
分析：（1）此題應分兩種情況：①a=0，此函數是一次函數，與x軸只有一個交點；
②a≠0，此函數是二次函數，可由根的判別式求出a的值，以此確定其解析式；
（2）設圓與x軸的另一個交點為C，連接PC，由圓周角定理知PC⊥BC；由于PB是圓的直徑，且AB切圓于B，得PB⊥AB，由此可證得△PBC∽△BAO，根據兩個相似三角形的對應直角邊成比例，即可得到PC、BC的比例關系，可根據這個比例關系來設P點的坐標，聯立拋物線的解析式即可求出P點的坐標；
（3）連接CM，設CM與PB的交點為Q，由于C、M關于直線PB對稱，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；過M作MD⊥x軸于D，取CD的中點E，連接QE，則QE是Rt△CMD的中位線；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易證得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它們的正切值都等于（在（2）題已經求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已經求出了CB的長，根據CE、BE的比例關系，即可求出BE、CE、QE的長，由此可得到Q點坐標，也就得到M點的坐標，然后將點M代入拋物線的解析式中進行判斷即可．
點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到一次函數、二次函數解析式的確定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，軸對稱的性質，三角形中位線定理，解直角三角形的應用等重要知識，需要特別注意的是（1）題所求的是函數y=ax²+x+1，而沒有明確是一次函數還是二次函數，所以要把兩種情況都考慮到，以免漏解．