Question

【題目】如圖，△ABC和△DEB都是等邊三角形，點A、D、B在同一直線上，如圖1．

（1）求證：DC=AE；

（2）若BM⊥CD，BN⊥AE，垂足分別為M、N，如圖2，求證：△BMN是等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質證明△CBD≌△ABE即可解決問題；

（2）根據△CBD≌△ABE可得∠BCM=∠BAN，進而證明△CMB≌△ANB，然后根據全等三角形的性質及等邊三角形的判定定理得出結論．

證明：（1）∵△ABC和△DEB都是等邊三角形，

∴CB=AB，∠CBA=∠DBE=60°，DB=BE，

∴△CBD≌△ABE（SAS），

∴DC=AE；

（2）∵BM⊥CD，BN⊥AE，

∴∠CMB=∠ANB=90°，

∵△CBD≌△ABE，

∴∠BCM=∠BAN，

∵CB=AB，

∴△CMB≌△ANB（AAS），

∴BM=BN，∠CBM=∠ABN，

∴∠ABN+∠ABM=∠CBM+∠ABM=∠CBA=60°，即∠MBN=60°，

∴△BMN是等邊三角形．