Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，∠BEA=∠DEA，連接AE、BD相交于點F，BD⊥CD．
（1）求證：AE=CD；
（2）求證：四邊形ABED是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線的性質得到BE=DE=EC，根據等腰三角形的性質得到EF⊥BD，即EA∥CD，得到平行四邊形AECD，即可得到答案；
（2）由（1）知：平行四邊形AECD，推出AD=EC，推出AD=BE，根據平行四邊形的判定得出平行四邊形ABED，再根據菱形的判定即可得出答案．
解答：證明：（1）∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵E是BC的中點，
∴BE=DE=EC，
∵∠BEA=∠DEA，
∴EF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴EA∥CD，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE=CD．

（2）∵四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD=EC，
∴AD=BE，又AD∥BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵BE=DE，
∴四邊形ABED是菱形．
點評：本題主要考查了梯形，平行四邊形的性質和判定，直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的性質，菱形的判定等知識點，綜合運用這些性質和判定進行證明是解此題的關鍵，題型較好，綜合性強．