Question

如圖，⊙O₁和⊙O內切于點A，AB為⊙O的直徑，點O₁在OA上，⊙O的弦BC切⊙O₁于點D，兩圓的半徑R=4，r=3．
（1）求BD的長；
（2）求CD的長．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質求出∠BDO₁=90°，根據勾股定理求出即可；
（2）求出∠ACB=90°，推出△BDO₁∽△BCA，得到比例式，代入求出BC即可．

解答：解：（1）連接O₁D，AC，
∵BD切圓O₁于D，
∴∠BDO₁=90°，
由勾股定理得：O₁D²+BD²=BO₁²，
即3²+BD²=（2×4-3）²，
解得：BD=4．
答：BD的長是4．

（2）∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°=∠O₁DB，
∵∠B=∠B，
∴△BDO₁∽△BCA，
∴

BD

BC

=

BO1

AB

，
即

4

BC

=

5

8

，
∴BC=

32

5

，
∴CD=

32

5

-4=

12

5

．
答：CD的長是

12

5

．

點評：本題主要考查對相切兩圓的性質，切線的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，圓周角定理等知識點的理解和掌握，能求出BD和BC的長是解此題的關鍵．