Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂內切于點A，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于D．AD的延長線交⊙O₂于M，連接AB、AC分別交⊙O₁于E、F，連接EF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）求證：AB•AC=AD•AM；
（3）若⊙O₁的半徑r₁=3，⊙O₂的半徑r₂=8，BC是⊙O₂的直徑，求AB和AC的長（AB＞AC）．

Answer 1

分析：（1）作兩圓的外公切線AT，根據弦切角定理得：∠TAB=∠AFE=∠ACB，則EF∥BC；
（2）根據弦切角定理得：∠ADB=∠ACM，推得△ADB∽△ACM，得出比例式

AD

AC

=

AB

AM

，再轉化成乘積式AB•AC=AD•AM；
（3）連接O₁D，由BC切⊙O₁于D，根據勾股定理得O₂D=4，再由O₁E∥O₂B，得出比例式，推出BE=

5

8

AB，根據切割線定理，求AB和AC的長．

解答：（1）證明：如圖，過A作⊙O₁、⊙O₂的公切線AT
∵∠TAB=∠AFE=∠ACB，∴EF∥BC，

（2）證明：連接CM，
∵∠ABD=∠AMC，∠TAM=∠ADB，∠TAM=∠ACM，
∴∠ADB=∠ACM，
∴△ADB∽△ACM，
∴

AD

AC

=

AB

AM

即AB•AC=AD•AM．

（3）解：連接O₁D，∴O₁D⊥BC，連接O₂O₁并延長，必過A點，
在Rt△O₁O₂D中，可求得O₂D=4，
∴BD=12，CD=4．
∵O₁E∥O₂B，∴

AE

AB

=

r1

r2

=

3

8

∴BE=

5

8

AB
∵BD²=AB•BE，∴12²=AB•

5

8

AB
∴AB=

24 10

5

，AC=

8 10

5

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定和性質的應用、切割線定理、切線的性質定理和勾股定理．