Question

    如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠O）與y軸交于點C(O，4)，與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（-2,0），拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E

    (1)求拋物線的解析式；

    (2)若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；

    (3)平行于DE的一條動直線Z與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標。

Answer 1

    解：(1)由拋物線經過點C(O，4)可得c=4,①

    ∵對稱軸x=  =1，∴b=-2a，②，    

    又拋物線過點A（一2，O）∴0=4a-2b+c，③  

    由①②③ 解得：a=, b=1 ,c=4．            

    所以拋物線的解析式是y=x+x+4

    (2)假設存在滿足條件的點F，如圖如示，連接BF、CF、OF．

過點F分別作FH⊥x軸于H , FG⊥y軸于G．

    設點F的坐標為（t, t2+t+4），其中O<t<4，

則FH=t2 +t+4  FG=t, 

∴△OBF=OB.FH=×4×（t2+4t+4）=一t2+2t+8  

    S△OFC=OC.FC=×4×t=2t

    ∴S四邊形ABFC—S△AOC+S△OBF +S△OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12．

    令一t2+4t+12 =17，即t2-4t+5=0，則△=(一4)2-4×5=一4<0,

    ∴方程t2 -4t+5=0無解，故不存在滿足條件的點F．．          

    (3)設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠O），又過點B(4,0，),  C(0,4)

    所以，解得：，

    所以直線BC的解析式是y=一x+4．  ．

    由y=x2+4x+4=一（x一1)2+，得D（1，），    ．

    又點E在直線BC上，則點E(1，3)，

    于是DE=一3=     

    若以D.E.P.Q為頂點的四邊形是平行四邊形，因為DE∥PQ，只須DE=PQ,

    設點P的坐標是（m，一m+4），則點Q的坐標是（m，一t2+m+4）．

     ①當O<m<4時，PQ=（一t2+m+4）一（一m+4）=一m2+2m．

     由一m2+2m= ，解得：m=1或3．當m=1時，線段PQ與DE重合,m=-1舍去,

     ∴m=-3，此時P1 (3,1)．                               

     ②當m<o或m>4時，PQ=（一m+4）一（一m2++m+4)= m2—2m,

     由m2—2m=，解得m=2±，經檢驗適合題意，

     此時P2（2+，2一），P3（2一，2+）．

   綜上所述，滿足條件的點P有三個，分別是P1 (3,1)，P2（2+，2 -），P3（2—，2十）．