Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）過點A（，﹣3）和點B（3，0）．過點A作直線AC∥x軸，交y軸于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上取一點P，過點P作直線AC的垂線，垂足為D．連接OA，使得以A，D，P為頂點的三角形與△AOC相似，求出對應點P的坐標；

（3）拋物線上是否存在點Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x；（2）P的坐標為（，﹣）或（4 ，6）或（，﹣）或（0，0）；（3）Q（3，0）或（﹣2，15）．

【解析】

（1）把A與B坐標代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出解析式；
（2）設P坐標為（x，x2-x），表示出AD與PD，由相似分兩種情況得比例求出x的值，即可確定出P坐標；
（3）存在，求出已知三角形AOC邊OA上的高h，過O作OM⊥OA，截取OM=h，與y軸交于點N，分別確定出M與N坐標，利用待定系數法求出直線MN解析式，與拋物線解析式聯立求出Q坐標即可．

（1）把A（，﹣3）和點B（3，0）代入拋物線得：，

解得：a=，b=﹣，

則拋物線解析式為y=x2﹣x；

（2）當P在直線AD上方時，

設P坐標為（x， x2﹣x），則有AD=x﹣，PD=x2﹣x+3，

當△OCA∽△ADP時，，即，

整理得：3x2﹣9x+18=2x﹣6，即3x2﹣11x+24=0，

解得：x=，即x=或x=（舍去），

此時P（，﹣）；

當△OCA∽△PDA時，，即，

整理得： x2﹣9x+6=6x﹣6，即x2﹣5x+12=0，

解得：x=，即x=4或（舍去），

此時P（4，6）；

當點P（0，0）時，也滿足△OCA∽△PDA；

當P在直線AD下方時，同理可得：P的坐標為（，﹣），

綜上，P的坐標為（，﹣）或（4，6）或（，﹣）或（0，0）；

（3）在Rt△AOC中，OC=3，AC=，

根據勾股定理得：OA=2，

∵OCAC=OAh，

∴h=，

∵S△AOC=S△AOQ=，

∴△AOQ邊OA上的高為，

過O作OM⊥OA，截取OM=，過M作MN∥OA，交y軸于點N，如圖所示：

在Rt△OMN中，ON=2OM=9，即N（0，9），

過M作MH⊥x軸，

在Rt△OMH中，MH=OM=，OH=OM=，即M（，），

設直線MN解析式為y=kx+9，

把M坐標代入得： =k+9，即k=﹣，即y=﹣x+9，

聯立得：，

解得：或，即Q（3，0）或（﹣2，15），

則拋物線上存在點Q，使得S△AOC=S△AOQ，此時點Q的坐標為（3，0）或（﹣2，15）．