Question

菱形ABCD的對角線相交于O點，且AO、BO的長分別是關于x的方程x²-（2k-1）x+4（k-1）=0的兩個根，又知菱形的周長為20，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：根據根與系數的關系求出AO+OB=2k-1，AO•BO=4k-4，由勾股定理得出AO²+OB²=AB²=25，推出（2k-1）²-2（4k-4）=25，求出k的值，當k=4時，方程為x²-7x+12=0，代入b²-4ac、AO•OB、AO+B0進行檢驗即可．
解答：解：
∵AO、BO的長分別是關于x的方程x²-（2k-1）x+4（k-1）=0的兩個根，
∴AO+OB=2k-1，AO•BO=4k-4，
∵菱形ABCD，
∴AB=AD=BC=CD=×20=5，AC⊥BD，
由勾股定理得：AO²+OB²=AB²=25，
∴（AO+BO）²-2AO•BO=25，
∴（2k-1）²-2（4k-4）=25，
解得：k²-3k-4=0，
k₁=4，k₂=-1，
當k=4時，方程為x²-7x+12=0，
b²-4ac=49-48＞0，AO•OB=7＞0，AO+B0=12＞0；
當k=-1時，方程為x²+3x-8=0，
b²-4ac=9+32＞0，AO•OB=-8＜0，不合題意舍去；
∴k的值是4．
點評：本題考查了菱形的性質，根與系數的關系，根的判別式，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度．注意一定要進行檢驗啊．