Question

(2005　哈爾濱)如圖所示，點是上一點，與相交于A、D兩點，BC⊥AD，垂足為D，分別交、于B、C兩點，延長交于E，交BA的延長線于F，交AD于G，連接AC．

(1)求證：∠BGD=∠C；

(2)若=45°，求證：AD=AF

(3)若BF=6CD，且線段BD、BF的長是關于x的方程的兩個實數根，求BD、BF的長．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)∵BC⊥AD于D， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴AB、AC分別為、的直徑． 如圖，∵∠2=∠3，∠BGD＋∠2=90°，∠C＋∠3=90°，∴∠BGD=∠C． (2)∵=45°，∴∠ABD=45°，∵， ， ∴∠4=22.5°， ∵，∴ ∴AD=AF （3）如圖 設CD=k,∵BF=6CD,∴BF=6k    連接AE,則，∴， ， ∴AE·BF=BD·AF 又∵在△AO2E和△DO2C中，AO2=DO2，∠AO2E=∠DO2C，O2E=O2C， △AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=k,∴6k2=BD·AF=(BC-CD)(BF-AB) ∵∠BO2A=90°,AO2=CO2 ∴BC=AB,∴6k2=(BC-k)(6k-BC) ∴BC2-7kBC+12k2=0 解得，BC=3k,或BC=4k 當BC=3k時，BD=2k ∵BD、BF的長是關于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的兩個實數根 ∴由根與系數的關系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2,BD·BF=12k2 =4m2+8, 整理得：4m2-12m+29=0 ∵△=(-12)2-4×4×29=-320<0,此方程無實數根，BC=3k不成立。 當BC=4k時，BD=3k， ∴3k＋6k=4m＋2，，整理，得：，解得；． ∴原方程可化為， 解得：．∴BD=6，BF=12．

提示：

點評　這是一個以幾何為背景的綜合題，綜合二次函數以及三角形、圓等知識，知識面廣，綜合性強，從中可以看出考生能力的高低．