Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，BC邊上的高AM=4，E為BC邊上的一個動點（不與B、C重合），過E作直線AB的垂線，垂足為F，FE與DC的延長線相交于點G，連接DE、DF．有下面三個結論：
（1）△BEF∽△CEG；
（2）當點E在線段BC上運動時，△BEF和△CEG的周長之和為24；
（3）當BE=

55

6

時，△DEF的面積為

121

6

，
其中正確結論的序號是

（1）（2）（3）

．

Answer 1

分析：（1）由AB∥DG，即可直接得到兩個三角形相似．
（2）利用勾股定理可求出BM=3，又因為Rt△BEF∽Rt△BAM，令BE=x，那么根據相似比，可用含x的代數式分別表示EF，BF，同樣在△CEG中，令CE=y，可用含y的代數式表示CG，EG，又x+y=10，那么能求出兩三角形的周長和是

12

5

（x+y）=24．
（3）利用相似比、勾股定理可得EF=

4

5

x，CG=

3

5

（10-x），那么利用三角形的面積公式，可得到y與x的關系式，再根據二次函數求最大值來求即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DG，
∴∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
∴△BEF∽△CEG，故此選項正確；
（2）過點C作FG的平行線交直線AB于H，
因為GF⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF與△CEG的周長之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴

AB

BC

=

AM

CH

由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24，故此選項正確；
（3）設BE=x，則EF=

4

5

x，GC=

3

5

（10-x），
所以y=

1

2

EF•DG=

1

2

•

4

5

x[

3

5

（10-x）+5]=-

6

25

x²+

22

5

x，
配方得：y=-

6

25

（x-

55

6

）²+

121

6

．
所以，當x=

55

6

時，y有最大值．
最大值為

121

6

，故此選項正確．
故答案為：（1）（2）（3）．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的面積公式，二次函數求最大值的問題，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．