Question

如圖，在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=

3

5

，點M在AB上運動，MP∥AC交BC于P，MQ⊥AC于Q，設AM=x，梯形MPCQ的面積為y．
（1）求y關于x的函數表達式及自變量x的取值范圍；
（2）當梯形MPCQ的面積為4時，求x的值；
（3）梯形MPCQ的面積是否有最大值，如果有，求出最大值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先過點C作CK⊥AB于K，由在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=

3

5

，即可求得△ABC的高CK，繼而求得△ABC的面積，又由MQ⊥AC，設AM=x，即可表示出△AMQ的面積，然后由MP∥AC，可得△BPM∽△BCA，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，表示出△BPM的面積，由y=S_梯形MPCQ=S_△ABC-S_△AMQ-S_△BPM，即可求得y關于x的函數表達式及自變量x的取值范圍；
（2）根據（1），由y=4，列方程即可求得x的值；
（3）根據（1），利用配方法，根據二次函數的最值問題，即可求得答案．

解答：解：（1）過點C作CK⊥AB于K，
∵在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=

3

5

，
∴

AK

AC

=

3

5

，
∴AK=

18

5

，
∴CK=

24

5

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CK=

1

2

×12×

24

5

=

144

5

，
∵AM=x，MQ⊥AC于Q，
∴AQ=AM•cosA=

3

5

x，
∴QM=

4

5

x，
∴S_△AMQ=

1

2

AQ•MQ=

1

2

×

3

5

x×

4

5

x=

6

25

x²，
∵MP∥AC，
∴△BPM∽△BCA，
∴

S△BPM

S△BCA

=（

BM

AB

）²=（

12-x

12

）²，
∴S_△BPM=

(12-x)2

5

，
∴y=S_梯形MPCQ=S_△ABC-S_△AMQ-S_△BPM=

144

5

-

6

25

x²-

(12-x)2

5

=-

11

25

x²+

24

5

x，
∴y關于x的函數表達式為：y=-

11

25

x²+

24

5

x，自變量x的取值范圍為：（0＜x＜10）；

（2）若y=4，
則-

11

25

x²+

24

5

x=4，
解得：x₁=

10

11

，x₂=10（舍去），
∴x的值為：

10

11

；

（3）有．
理由：∵y=-

11

25

x²+

24

5

x=-

11

25

（x-

60

11

）²+

144

11

，
∴當x=

60

11

時，y最大，最大值為：

144

11

，
∴梯形MPCQ的面積有最大值為：

144

11

．

點評：此題考查了二次函數的綜合應用問題，考查了相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質，三角函數等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．