Question

19．在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，垂足分別是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四個結論：①PA平分∠BAC，②AS=AR，③QP∥AR，④△BRP≌△CSP中，一定成立的是①②③④（填寫編號即可）

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線性質即可推出②，根據(jù)勾股定理即可推出AR=AS，根據(jù)等腰三角形性質推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據(jù)平行線判定推出QP∥AB即可；求出PQ=CP=BP，根據(jù)AAS推出△BRP≌△QSP即可，然后根據(jù)線段垂直平分線的判定即可得到AP垂直平分RS．

解答 解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴點P在∠A的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR²=AP²-PR²，AS²=AP²-PS²，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正確；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正確；
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC，
∵∠QAP=∠BAP，
∴BP=CP，
∵QP∥AB，
∴∠QPC=∠B=60°=∠C，
∴PQ=CQ，
∴△PQC是等邊三角形，
∴PQ=CP=BP，∠SQP=60°=∠B，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠PSQ=90°，
在△BRP和△QSP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BRP=∠PSQ}\\{∠B=∠SQP}\\{BP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△BRP≌△QSP，∴④正確；
連接RS，

∵PR=PS，
∴點P在RS的垂直平分線上，
∵AS=AR，
∴點A在RS的垂直平分線上，
∴AP垂直平分RS，∴①正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質和判定，角平分線性質的應用，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．