Question

在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=x²-4x+3與x軸交于兩點A、B，與y軸交于點C，其中點A在點B的左側．
（1）求△ABC的面積；
（2）設拋物線頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=x²-4x+3與x軸交于兩點A、B，求得A、B兩點的坐標，拋物線與y軸交于點C，求出C點坐標，再求△ABC的面積；
（2）利用配方法求出點D的坐標，用待定系數法求得直線BC的解析式，進一步求出與對稱軸的交點E，對稱軸與x軸的交點；數形結合，解得△AEF和△EFB均為等腰直角三角形，再證得△AFP∽△AEC，求得P點坐標，利用對稱求得另一點P．
解答：解：如圖
（1）令y=0，則x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3
∵點A在點B的左側，
∴A（1，0），B（3，0）
令x=0，則c=3
∴C（0，3）
∴；

（2）y=x²-4x+3=（x-2）²-1
∴D（2，-1）
設BC的解析式為y=kx+b，（k≠0）
∴.
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
對稱軸直線x=2與x軸交于點F，與BC交于點E，
可得F（2，0），E（2，1）
連接AE．
∴AF=FB=FE=1．
∵EF⊥AB，
∴△AEF和△EFB均為等腰直角三角形．
∴∠AEF=∠FEB=45°
∴∠AEB=90°
∴∠AEC=∠AFP=90°
∵∠APD=∠ACB，
∴△AFP∽△AEC（5分）
.
∴點P的坐標為（2，2）
同理可得P的坐標為（2，-2）
∴點P的坐標為（2，2）或（2，-2）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式、待定系數法、等腰三角形的性質、三角形相似的判定及對稱的性質，始終滲透數形結合的思想．