Question

如圖(1)，矩形ABCD的BC邊在直角坐標系的x軸上，折疊邊AD，使點D落在x軸上點F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設點B坐標為(m，0)，其中m>0.  
(1)求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；  
(2)連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；  
(3)如圖(2)，設拋物線y=a(x－m－6)+h經過A、E兩點，其頂點為M，連接AM，若
∠OAM=90，求a、h、m的值．

Answer 1

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，  
∴AD=BC=10，AB=CD=8，  ∠D= ∠DCB= ∠ABC=90．
 由折疊對稱性：AF=AD=10，FE=DE. 
 在Rt△ABF中，BF===6．  
∴FC=4．  
在Rt△ECF中．4+(8-DE) =DE，
解得DE=5．  
∴CE=8－DE=3．   
∵B(m，0),
∴E(m+10,3),F(m+6,0). 
 (2)分三種情形討論： 
 若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴OB=BF=6．
∴m=6. 
若OF=AF，則m+6=10，解得m=4．  
若AO=OF，
在Rt △AOB中，AO² =OB+AB=m+64，  
∴(m+6)=m+64，解得m=，
綜合得m的值為6或4或． 
 (3)由(1)知A(m，8)，E(m+10，3)    a(m-m-6) +h=8
依題意，得  a(m+10-m-6) +h=3     a= 
 解得    h=－1    h=-1， 
∴M(m+6，－1)．
 設對稱軸交AD于G． 
 ∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=8－(－1) =9.
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°
∴∠OAB=∠MAG.
又∵∠ABO=∠MGA=90°,
∴△AOB∽△AMG.
∴,即。
∴m=12.