Question

【題目】如圖，經過原點且與兩坐標軸分別交于點和點，點的坐標為，點的坐標為，解答下列各題：

（1）求圓心的坐標；

（2）在上是否存在一點，使得是等腰三角形？若存在，請求出的度數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在符合條件的點：，，，

【解析】

（1）如圖（見解析），過作軸于，先確定AB是圓O的直徑，再根據垂徑定理可得，根據中位線定理可知，從而可得點C的坐標；

（2）如圖（見解析），作的垂直平分線，交圓于，交于，連接，根據垂直平分線的性質可知點符合要求，再根據圓周角定理和直角三角形的性質求出的度數；最后再分析當OB為所求等腰三角形的腰時點P的位置即可.

（1）如圖，過作軸于

∴是圓的直徑

則（垂徑定理），（中位線定理）

即；

（2）如圖，作的垂直平分線，交圓于，交于，連接

則，都是等腰三角形，即、均符合點的要求

由垂徑定理知：必過點，即是圓的直徑

∴，

在中，，

∴

同理可得

是等邊三角形

故當點P在OB的上方時，不需要考慮OB為腰的情況

又∵是直徑

同理可得

故當點P在OB的下方時，OB不可能為腰

綜上，存在符合條件的點：；.