Question

在△ABC中，H為垂心，M為BC上的中點，AD為BC上的高，且AD=BC（AC＞AB）．求證：HD+HM=MC．

Answer 1

解：連CH，
∵H為垂心，
∴CH⊥AB
又∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△CHD，
設AD=BC=1，BD=x，則CD=1-x，DM=-x，
∵=，
=，
∴DH=（1-x）x，
HM²=DH²+DM²=[（1-x）x]²+
=
∵AC＞AB，BD=x＜
∴x（1-x）=x-x²=-+＜，
∴HM=-x（1-x）+
HD+HM=（1-x）x-x（1-x）+===CM，
∴HD+HM=CM．
分析：根據題意作輔助線，根據垂心的定義及已知條件得出△ABD∽△CHD，設AD=BC=1，BD=x，則CD=1-x，根據三角形相似對應邊成比例的性質得出DH，根據勾股定理分別得出HD+HM及MC，從而得出結論．
點評：本題主要考查了垂心的性質，相似三角形的判斷及對應邊成比例的性質、勾股定理的應用，比較綜合，難度較大．