Question

如圖所示，某工程隊準備在山坡（山坡視為直線l）上修一條路，需要測量山坡的坡度，即tanα的值．測量員在山坡P處（不計此人身高）觀察對面山頂上的一座鐵塔，測得塔尖C的仰角為37°，塔底B的仰角為26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，圖中的點O、B、C、A、P在同一平面內，求山坡的坡度．（參考數據sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

Answer 1

解：如圖，過點P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形．
在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，
∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；
在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，
∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°；
∵CD-BD=BC，
∴PD•tan37°-PD•tan26.6°=80，
∴0.75PD-0.50PD=80，
解得PD=320，
∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160，
∵OB=220，
∴PE=OD=OB-BD=60，
∵OE=PD=320，
∴AE=OE-OA=320-200=120，
∴tanα===0.5，
∴坡度為1：2．
分析：過點P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CPD，得出CD=PD•tan37°；再根據CD-BD=BC，列出方程，求出PD=320，進而求出PE=60，AE=120，然后在△APE中利用三角函數的定義即可求解．
點評：本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，難度適中，通過作輔助線，構造直角三角形，利用三角函數求解是解題的關鍵．