Question

如圖所示，拋物線y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-l，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B。

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（m，m+l）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連結(jié)BD，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠DBP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1））∵拋物線y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0），C（0，4）兩點(diǎn)
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4；
（2））∵點(diǎn)D（m，m+1）在拋物線上
∴m+l=-m²+3m+4，即m²-2m-3=0
所以，m=-1或m=3
∵點(diǎn)D在第一象限
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）
由（1）知OC=OB
所以，∠CBA=45°
設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠MCB=∠DCB=45°
∴M點(diǎn)在y軸上，且CM=CD=3
∴OM=1
∴M（0，1）
即點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）；
（3）作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E
由（1）有：OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CB0=45°
∴DE=CE=
∵OB=OC=4
∴BC=4
∴BE=BC-CE=
∴tan∠PBF=tan∠CBD=
設(shè)PF=3t，則BF=5t
∴OF=5t-4
∴P（-5t+4，3t）
∵P點(diǎn)在拋物線上
∴3t=-（-5t+4）²+3（-5t+4）+4
∴t=0（舍去）或t=
∴P（-，）。