Question

在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，如圖①，E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，連接DE．
（1）當(dāng)DE=10時(shí)，求證：DE與圓O相切；
（2）求DE的最長(zhǎng)距離和最短距離；
（3）如圖②，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)DE=10時(shí)，試求直線DE的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，連接OE，OD，由題意得，DE=DA=10，利用（SSS）判定△AOD≌△EOD，從可得∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與B點(diǎn)重合的位置時(shí)，如圖2，DE為正方形ABCD的對(duì)角線，所以此時(shí)DE最長(zhǎng)，利用勾股定理求得DE，證明當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段OD與半圓O的交點(diǎn)處時(shí)，DE最短．然后求得DE=OD-OE即可．
（3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；如圖4，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥x軸，分別交AD，x軸于點(diǎn)G，H，連接OE．則四邊形AFEG是矩形，且DE為圓O的切線，求證△OFE∽△DGE，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)E（m，n），則有：EF=m，OF=OB-FB=5-n求得即可．
解答：證明：（1）如圖1，連接OE，OD，由題意得，
DE=DA=10，，OD為公共邊
∴△AOD≌△EOD（SSS）
∴∠OED=∠OAD=90°
∴OE⊥DE，
∴DE與圓O相切．

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與B點(diǎn)重合的位置時(shí)，如圖2，DE為正方形ABCD的對(duì)角線，所以此時(shí)DE最長(zhǎng)，
有：，
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段OD與半圓O的交點(diǎn)處時(shí)，DE最短．

證明如下：
在半圓O上任取一個(gè)不與點(diǎn)E重合的點(diǎn)E′，連接OE′，DE′．如圖3，
在△ODE′中，∵OE′+DE′＞OD即：OE′+DE′＞OE+DE，
∵OE′=OE，
∴DE′＞DE
∵點(diǎn)E′是任意一個(gè)不與點(diǎn)E重合的點(diǎn)，∴此時(shí)DE最短．
∴，

（3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；如圖4，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥x軸，分別交AD，x軸于點(diǎn)G，H，連接OE．
則四邊形AFEG是矩形，
連接OD，
∵AD=DE，OA=OE，OD=OD，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠OED=90°，
∴DE為圓O的切線
∴∠FEG=∠OED=90°
∴∠FEO=∠GED，
又∵∠OFE=∠DGE=90°
∴△OFE∽△DGE
∴，
設(shè)E（m，n），則有：EF=m，OF=OB-FB=5-n
得：，
解得：，即：E（4，2）
又直線DE過(guò)點(diǎn)D（10，10），設(shè)直線DE解析式為y=kx+b，則有：，
解得：，即：
∴當(dāng)DE=10時(shí)，直線DE的解析式為；
以下兩種解法涉及高中知識(shí)，僅供參考：
另解2：
（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，，
設(shè)直線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10，10），代入求得
所以直線DE的解析式為；
另解3：
依題意得：點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，5），設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b
由點(diǎn)到直線的距離公式得：，即（b-5）²=25（k²+1）①
直線DE過(guò)點(diǎn)D（10，10），得10=10k+b②
由①②解得：75k²-100k=0，解得
所以直線DE的解析式為：為．
點(diǎn)評(píng)：此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，有相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，切線的判定與性質(zhì)，綜合性很強(qiáng)，是一道很典型的題目．