Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．
（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．
（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

分析：（1）經過1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即據SAS可證得△BPD≌△CQP．
（2）可設點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經過ts△BPD與△CQP全等，則可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，據（1）同理可得當BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC時兩三角形全等，求x的解即可．

解答：解：（1）經過1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，且BD=PC，BP=CQ，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）設點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經過ts△BPD與△CQP全等；則可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根據全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當BD=PC，BP=CQ時，②當BD=CQ，BP=PC時，兩三角形全等；
①當BD=PC且BP=CQ時，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情況；
②BD=CQ，BP=PC時，5=xt且3t=8-3t，解得：x=

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；
故若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為

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cm/s時，能夠使△BPD與△CQP全等．

點評：本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．