Question

已知拋物線(xiàn)y=4x²-7x+4與直線(xiàn)y=x+b相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求b的取值范圍；
（2）當(dāng)AB=2時(shí)，求b的值；
（3）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，在（2）的條件下，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)交點(diǎn)的意義可得4x²-7x+4=x+b，整理，得4x²-8x+（4-b）=0，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即△=（-8）²-16（4-b）=16b＞0，所以b＞0．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），x₁＜x₂，根據(jù)x₁、x₂是方程4x²-8x+（4-b）=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可知
|x₁-x₂|=

b

，根據(jù)題意可知y₂-y₁=x₂-x₁，所以AB=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

2

|x2-x1|=

2b

=2，即b=2．
（3）由（2）可知，直線(xiàn)的解析式為y=x+2，設(shè)直線(xiàn)與y軸交于C點(diǎn)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），OC=2，易知x₂＞x₁＞0，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，并表示出S_△AOC，S_△BOC，可知S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=

b

=

2

．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得4x²-7x+4=x+b．（1分）
整理，得4x²-8x+（4-b）=0．（2分）
∵拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（-8）²-16（4-b）=16b＞0．
∴b＞0（3分）．

（2）不妨設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），x₁＜x₂，如圖
∵x₁、x₂是方程4x²-8x+（4-b）=0的兩根
∴x1+x2=2，x1x2=

4-b

4

（4分）
∴|x2-x1|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

22-(4-b)

=

b

（5分）
∴y₁=x₁+b，y₂=x₂+b
∴y₂-y₁=x₂-x₁（6分）
∴AB=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

2

|x2-x1|=

2b

=2
∴b=2．（7分）

（3）由（2）可知，直線(xiàn)的解析式為y=x+2，設(shè)直線(xiàn)與y軸交于C點(diǎn)，
則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），OC=2，易知x₂＞x₁＞0．
∵S△AOC=

1

2

OC•x1，S△BOC=

1

2

OC•x2（8分）
∴S△AOB=S△BOC-S△AOC=

1

2

OC•(x2-x1)（9分）
=

1

2

×2|x2-x1|=|x2-x1|=

b

∴S△AOB=

2

（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能利用一元二次方程解的意義和根的判別式求得b的取值范圍，并會(huì)用根與系數(shù)的關(guān)系求得交點(diǎn)之間的關(guān)系，能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求得幾何圖形的面積．