Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于點D，交AB于點E，點F在DE的延長線上，且AF=CE．
（1）四邊形ACEF是平行四邊形嗎？說明理由；
（2）當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF為菱形？請說明你的結論；
（3）四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）已知AF=EC，只需證明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位線，則FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此
△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可證得AF∥EC；
（2）要使得平行四邊形ACEF為菱形，則AC=CE，又∵CE=

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AB，∴使得AB=2AC即可，根據AB、AC即可求得∠B的值；
（3）通過已知在△ABC中，∠ACB=90°，推出∠ACE＜90°，不能為直角，進行說明．

解答：解：（1）四邊形ACEF是平行四邊形；
∵DE垂直平分BC，
∴D為BC的中點，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E為AB中點，
∴ED是△ABC的中位線．
∴BE=AE，FD∥AC．
∴BD=CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜邊AB的中線，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當∠B=30°時，四邊形ACEF為菱形；
理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=

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2

AB，
由（1）知CE=

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2

AB，∴AC=CE
又四邊形ACEF為平行四邊形
∴四邊形ACEF為菱形；

（3）四邊形ACEF不可能是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能為直角，
所以四邊形ACEF不可能是正方形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，垂直平分線的性質，本題中根據特殊角的正弦函數值求∠B的度數是解題的關鍵．