Question

如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點G．
（1）直線FC與⊙O有何位置關系？并說明理由；
（2）若OB=BG=1，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，通過證明OC∥AF，從而證得OC⊥FG即可判定切線．
（2）可通過得到CA=CG得到∠COE=∠G=30°，利用解直角三角形的知識求得CD的長即可．

解答：解：（1）直線FC與⊙O相切；
證明：連接OC，
∵直徑AB垂直于弦CD，
∵將△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∴OC⊥FG，
∴直線FC與⊙O相切；

（2）在Rt△OCG中，cos∠COG=

OC

OG

=

OC

2OB

=

1

2

，
∴∠COG=60°．                                        
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=2×

3

2

=

3

．       
∵直徑AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=2

3

．

點評：此題考查了切線的判定、垂徑定理、解直角三角形等知識點，難度中等．