Question

如圖，已知E，F，G，H分別是▱ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

Answer 1

【考點】平行四邊形的判定．

【專題】證明題．

【分析】易證得△AEH≌△CGF，從而證得對應邊BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形得證．

【解答】證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C（平行四邊形的對邊相等）；

又∵AE=CG，AH=CF（已知），

∴△AEH≌△CGF（SAS），

∴EH=GF（全等三角形的對應邊相等）；

在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四邊形的對邊相等），

∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，

即BE=DG，DH=BF．

又∵在平行四邊形ABCD中，∠B=∠D，

∴△BEF≌△DGH；

∴GH=EF（全等三角形的對應邊相等）；

∴四邊形EFGH是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．