Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連結DE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）連結OE，若cos∠BAD=，BE=，求OE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，BD，利用切線的性質得出∠ABC=∠2+∠4=90°，進而得出∠ODE=∠1+∠3=90°，即可得出答案；
（2）根據相似三角形的判定與性質得出△ABC∽△ADB，以及AC的長，進而得出答案．
解答：（1）證明：如圖1所示，連接OD，BD
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°．
在Rt△BDC中
∵E是BC的中點，∴DE=BC；
∴DE=BE；∴∠1=∠2．
∵OD=OB，∴∠3=∠4；
∵∠ABC=∠2+∠4=90°
∴∠ODE=∠1+∠3=90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
            
（2）解：∵E是BC的中點，O是AB中點，
∴OE∥AC，
∴∠BAD=∠BOE，
∴cos∠BAD=∠BOE=，
∵BE=，
∴OE=．
點評：此題主要考查了切線的判定與性質以及相似三角形的判定與性質和三角形中位線定理等知識，根據已知得出△ABC∽△ADB是解題關鍵．