Question

(10分)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過
點D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．
(1)求證：EF是⊙O的切線；
(2)當∠BAC＝60º時，DE與DF有何數量關系？請說明理由；
(3)當AB＝5，BC＝6時，求tan∠BAC的值．

Answer 1

 
（1）      證明：連結OD，
∵AB=AC，∴∠2=∠C
又∵OD=OB，∴∠2=∠1
∴∠1=∠C
∴OD∥AC
∵EF⊥AC
∴OD⊥EF
∴EF是⊙O的切線。
（2）DE與DF的數量關系為：DF=2DE。理由如下：
連結AD
∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，
∵AB=AC。∴∠3=∠4=∠BAC=30°
∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°， ∴∠3=∠F
∴AD=DF
∵∠4=30°，EF⊥AC，∴AD=2DE
∴DF=2DE.
（3）解：設⊙O與AC的交點為P，連結BP，則BP⊥AC，由上知BD=BC=3
∴

∴
∴
∴
∴tan∠BAC=

解析