Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點D，AD平分∠CAB交弧于點D，連接CD、OD．下列結論：①AC∥OD；②CE=OE；③∠OED=∠AOD；④CD=DE．其中正確結論的個數有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據等腰三角形的性質和角平分線的性質，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；過點E作EF⊥AC，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OE=EF，再根據直角三角形斜邊大于直角邊可證；再根據內角與外角的關系進行判斷即可得出答案．
解答：解：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正確．
②過點E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②錯誤．
③∵在△ODE和△ADO中，
∠DEO=90°+∠DAO，
∠AOD=90°+∠COD，
∵∠DAO=∠COD，
∴③∠OED=∠AOD錯誤；
④作ON⊥CD，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∠AEO=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DCE=∠CED=67.5°，
∴CD=DE，
∴④正確．
綜上所述，只有①④正確．
故選：B．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識點的靈活運用，此題步驟繁瑣，但相對而言，難易程度適中，很適合學生的訓練是一道典型的題目．