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如圖,AB是半圓直徑,半徑OC⊥AB于點D,AD平分∠CAB交弧于點D,連接CD、OD.下列結論:①AC∥OD;②CE=OE;③∠OED=∠AOD;④CD=DE.其中正確結論的個數有( )

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
【答案】分析:根據等腰三角形的性質和角平分線的性質,利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可;過點E作EF⊥AC,根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OE=EF,再根據直角三角形斜邊大于直角邊可證;再根據內角與外角的關系進行判斷即可得出答案.
解答:解:①∵AB是半圓直徑,
∴AO=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D,
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AC∥OD,
∴①正確.
②過點E作EF⊥AC,
∵OC⊥AB,AD平分∠CAB交弧BC于點D,
∴OE=EF,
在Rt△EFC中,CE>EF,
∴CE>OE,
∴②錯誤.
③∵在△ODE和△ADO中,
∠DEO=90°+∠DAO,
∠AOD=90°+∠COD,
∵∠DAO=∠COD,
∴③∠OED=∠AOD錯誤;
④作ON⊥CD,
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D,
∴∠CAD=×45°=22.5°,
∴∠COD=45°,
∵AB是半圓直徑,
∴OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=67.5°,
∠AEO=90°-22.5°=67.5°,
∴∠DCE=∠CED=67.5°,
∴CD=DE,
∴④正確.
綜上所述,只有①④正確.
故選:B.
點評:此題主要考查相似三角形的判定與性質,圓心角、弧、弦的關系,圓周角定理,等腰三角形的性質,三角形內角和定理等知識點的靈活運用,此題步驟繁瑣,但相對而言,難易程度適中,很適合學生的訓練是一道典型的題目.
練習冊系列答案
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2
S△AEO;②AC∥OD;③線段OD是DE與DA的比例中項;④2CD2=CE•AB.其中結論正確的是(  )

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