Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，連接CD、OD，給出以下四個結論：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD²=CE•AB．其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：①根據等腰三角形的性質和角平分線的性質，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；
②過點E作EF⊥AC，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OE=EF，再根據直角三角形斜邊大于直角邊可證；
③兩三角形中，只有一個公共角的度數相等，其它兩角不相等，所以不能證明③△ODE∽△ADO；
④根據同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠CDE=45°，再求證△CED∽△CDO，利用其對應變成比例即可得出結論．

解答：解：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO=

1

2

∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正確．
②過點E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②錯誤．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，
∴不能證明△ODE和△ADO相似，
∴③錯誤；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴

CD

CO

=

CE

CD

，
∴CD²=OC•CE=

1

2

AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
∴④正確．
綜上所述，只有①④正確．
故答案為：①④．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識點的靈活運用，此題步驟繁瑣，但相對而言，難易程度適中，很適合學生的訓練是一道典型的題目．