Question

已知拋物線y=kx²+（k-2）x-2（其中k＞0）．
（1）求該拋物線與x軸的交點(diǎn)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)（可以用含k的代數(shù)式表示）；
（2）若記該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為P（m，n），直接寫出|n|的最小值；
（3）將該拋物線先向右平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度，隨著k的變化，平移后的拋物線的頂點(diǎn)都在某個(gè)新函數(shù)的圖象上，求新函數(shù)的解析式（不要求寫自變量的取值范圍）．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解方程kx²+（k-2）x-2=0即可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（-，）代入進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，然后利用絕對值的性質(zhì)，再根據(jù)恒不等式列式進(jìn)行解答；
（3）根據(jù)左加右減，上加下減，寫出平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后消掉字母k即可得解．
解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，kx²+（k-2）x-2=0，
即（kx-2）（x+1）=0，
解得x₁=，x₂=-1，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）與（-1，0），
-=-=-，
==-，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-，-）；

（2）根據(jù)（1），|n|=|-|===++1≥2+1=1+1=2，
當(dāng)且僅當(dāng)=，即k=2時(shí)取等號，
∴當(dāng)k=2時(shí)，|n|的最小值是2；

（3）-+=，
-+===-k-1，
設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則，
消掉字母k得，y=--1，
∴新函數(shù)的解析式為y=--1．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，頂點(diǎn)坐標(biāo)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需仔細(xì)分析求解．