Question

已知拋物線y=kx²+2kx-3k，交x軸于A、B兩點（A在B的左邊），交y軸于C點，且y有最大值4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的最值得到

4k•(-3k)-(2k)2

4k

=4且k＜0，求出k即可；
（2）①當∠C=90°時，作PC⊥BC交拋物線于P點，并做PD⊥y軸于D點，設P（x，-x²-2x+3），根據△OBC∽△DCP，得到

CO

BO

=

DP

CD

，代入求出即可；②當∠B=90°時，作PB⊥BC交拋物線于P點，并作PE⊥x軸于點E，設P（x，-x²-2x+3），根據△OBC∽△EPB，得到

CO

BO

=

EB

EP

，代入求出即可；③當∠P=90°時，點P應在以BC為直徑的圓周上，根據圖象得出結論．

解答：解：（1）∵y有最大值4，
∴y=kx²+2kx-3k=k（x+1）²-4k，
∴-4k=4，
解得k=-1，
∴y=-x²-2x+3，
答：拋物線的解析式是y=-x²-2x+3．

（2）根據直角的可能性分三種情況：
①當∠C=90°時，作PC⊥BC交拋物線于P點，并做PD⊥y軸于D點，
設P（x，-x²-2x+3），
∵△OBC∽△DCP，
∴

CO

BO

=

DP

CD

，
即

3

1

=

-x

3-(-x2-2x+3)

，
∴x₁=0（舍去），x2=-

7

3

，
∴P(-

7

3

，

20

9

)；
②當∠B=90°時，作PB⊥BC交拋物線于P點，并作PE⊥x軸于點E，
設P（x，-x²-2x+3），
∵△OBC∽△EPB，
∴

CO

BO

=

EB

EP

，
即

3

1

=

1-x

-(-x2-2x+3)

，
∴x₁=1（舍去），x2=-

10

3

，
∴P(-

10

3

，-

13

9

)；
③當∠P=90°時，點P應在以BC為直徑的圓周上，
如圖，與拋物線無交點，故不存在，
綜上所述，這樣的點P有兩個：P1(-

7

3

，

20

9

)，P₂（-

10

3

，-

13

9

），
答：在拋物線上存在點P，使△PBC是直角三角形，P點坐標是（-

7

3

，

20

9

）或（-

10

3

，-

13

9

）．

點評：本題主要考查對二次函數的最值，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程，用待定系數法求二次函數的解析式，直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，能根據性質求出符合條件的所有情況是解此題的關鍵．