Question

將弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D，若AD=4，DB=5，則BC的長是

3

7

．

Answer 1

分析：連接CA、CD，根據翻折的性質可得弧CD所對的圓周角是∠CBD，再根據AC弧所得的圓周角也是∠CBA，然后求出AC=CD，過點C作CE⊥AB于E，根據等腰三角形三線合一的性質可得AE=ED=

1

2

AD，根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE和△CBE相似，根據相似三角形對應邊成比例求出CE²，再求出BE，然后利用勾股定理列式計算即可求出BC．

解答：解：如圖，連接CA、CD，
根據折疊的性質，

CD

所對的圓周角是∠CBD，
∵

AC

所對的圓周角是∠CBA，∠CBA=∠CBD，
∴AC=CD（相等的圓周角所對的弦相等），
過點C作CE⊥AB于E，
則AE=ED=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴BE=BD+DE=5+2=7，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
易求△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

BE

，
即CE²=AE•BE=2×7=14，
在Rt△BCE中，BC=

CE2+BE2

=

14+72

=3

7

．
故答案為：3

7

．

點評：本題考查了翻折的性質，相似三角形的判定與性質，圓的性質，等腰三角形的判定與性質，作輔助線并求出AC=CD是解題的關鍵．