Question

如圖，點(diǎn)M，N分別在等邊△ABC的BC，CA邊上，直線(xiàn)AM，BN交于點(diǎn)Q，且∠BQM=60°．
（1）求證：BM=CN；
（2）若將題中的點(diǎn)M，N分別移到BC，CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件都不變，是否任能得到BM=CN？請(qǐng)畫(huà)出圖形加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明：△ABM≌△BCN，即可證得；
（2）利用AAS定理證明：△ABM≌△BCN即可．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABM=∠C=60°，AB=BC（2分）
又∠ABQ+∠BAQ=∠BQM=60°
∠ABQ+∠CBN=∠ABM=60°
∴∠BAQ=∠CBN（3分）
∴△ABM≌△BCN（ASA）（4分）
∴BM=CN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（5分）

（2）解：仍能得到BM=CN，如圖所示．證明如下：（6分）
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC（7分）
又∠M+∠MAC=∠ACB=60°
∠N+∠NAQ=∠BQM=60°
而∠MAC=∠NAQ（對(duì)頂角相等）
∴∠M=∠N（8分）
∴△ABM≌△BCN（AAS）（9分）
∴BM=CN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，把證明線(xiàn)段相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問(wèn)題是解題關(guān)鍵．