Question

如圖，小明做出了邊長為1的第1個正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面積．然后分別取△A₁B₁C₁的三邊中點A₁，B₁，C₁，做出了第2個正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面積．用同樣的方程，做出了第3個正△A₃B₃C₃，算出了第3個正△A₃B₃C₃的面積，由此可得，第n個正△A_nB_nC_n的面積是（　　）

• A．

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )n-1
• B．

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )n
• C．

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )n-1
• D．

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )n

Answer 1

分析：根據相似三角形的性質，先求出正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃的面積，依此類推△A_nB_nC_n的面積是面積

3

4

×（

1

4

）^n-1．

解答：解：正△A₁B₁C₁的面積是

3

4

，
而△A₂B₂C₂與△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
則面積的比是

1

4

，則正△A₂B₂C₂的面積是

3

4

×

1

4

，
因而正△A₃B₃C₃與正△A₂B₂C₂的面積的比也是

1

4

，即面積是

3

4

× (

1

4

)2；
依此類推，△A_nB_nC_n與△A_n-1B_n-1C_n-1的面積的比是

1

4

，即第n個三角形的面積

3

4

×（

1

4

）^n-1．
故選A．

點評：本題考查了相似三角形的性質及判定、等邊三角形的性質、三角形的中位線定理，相似三角形面積的比等于相似比的平方，找出規律是關鍵．