Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，點D是BC邊的中點．點P從點B出發，以acm/s(a＞0)的速度沿BA勻速向點A運動；點Q同時以1cm/s的速度從點D出發，沿DB勻速向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設它們運動的時間為ts．

(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

(2)設點M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形．

①若a＝，求PQ的長；

②是否存在實數a，使得點P在∠ACB的平分線上？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；勾股定理；平行四邊形的性質．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點，根據等腰三角形三線合一的性質，即可求得BD與CD的長，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得t的值；

（2）①首先過點P作PE⊥BC于E，由四邊形PQCM為平行四邊形，易證得PB=PQ，又由平行線分線段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；

②首先假設存在點P在∠ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程組，解此方程組求得t值為負，故可得不存在．

【解答】解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中點，

∴BD=CD=1 2 BC=6cm，

∵a=2，

∴BP=2tcm，DQ=tcm，

∴BQ=BD-QD=6-t（cm），

∵△BPQ∽△BDA，

∴BP BD =BQ AB ，

即2t 6 =6-t 10 ，

解得：t=18 13 ；

（2）①過點P作PE⊥BC于E，

∵四邊形PQCM為平行四邊形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，

∴PB=CM，

∴PB=PQ，

∴BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，

∵a=5 2 ，

∴PB=5 2 tcm，

∵AD⊥BC，

∴PE∥AD，

∴PB：AB=BE：BD，

即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，

解得：t=3 2 ，

∴PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm）；

②不存在．理由如下：

∵四邊形PQCM為平行四邊形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．

若點P在∠ACB的平分線上，則∠PCQ=∠PCM，

∵PM∥CQ，

∴∠PCQ=∠CPM，

∴∠CPM=∠PCM，

∴PM=CM，

∴四邊形PQCM是菱形，

∴PQ=CQ，

∴PB=CQ，

∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），

∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），

即at=6+t①，

∵PM∥CQ，

∴PM：BC=AP：AB，

∴6+t 12 =10-at 10 ，

化簡得：6at+5t=30②，

把①代入②得，t=-6 11 ，

∴不存在實數a，使得點P在∠ACB的平分線上．

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、菱形的判定與性質以及等腰三角形的性質等知識．此題難度較大，注意數形結合思想與方程思想的應用．